Question

数列{a_n}中a₁=1，前n项的和S_n满足关系式4tS_n-（3t+4）S_n-1=4t（t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，，求和：P=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer

（1）利用an=Sn-tSn-1，求得数列{an}的递推式，整理得（n≥3）进而可推断出n≥3时，数列成等比数列，然后分别求得a1和a2，验证亦符合，进而可推断出{an}是一个首项为1，公比为 的等比数列．
（2）把f（t）的解析式代入bn，进而可知，，判断出{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．{bn}是等差数列．进而可推断出{b2n-1}和{b2n}也是等差数列，进而用分组法求得b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1和
【解析】
（1）∵n≥3时，4tSn-1-（3t+4）Sn-2=4t
∴4tSn-（3t+4）Sn-1=4t
两式相减得：4tan=（4+3t）an-1所以（n≥3）
 又
∴{an}为等比数列，且公比为．
（2）∵，
∴数列{bn}是以b1=1为首项，以为公差的等差数列，
 通项公式为，

易知{b2n}也是等差数列∴=（-2）××=．