(1)由已知中函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点是x=3.我们根据函数在某点取得极值的条件,易得f′(3)=0,进而构造方程求出a与b的关系式;
(2)消去b得到函数,然后求出导函数,分析函数在各个区间上的导数符号,即可得到答案.
(3)函数f(x)在区间上存在零点即(x2+ax+b)e3-x=0在区间上有根,然后将a分离,研究等式另一侧的值域即可求出a的范围;
(4)根据g(x)=(a2+)ex,利用导数法确定函数的单调性,再根据(1)的结论,我们可以构造一个关于a的不等式,解不等式即可得到答案.
【解析】
(1)f′(x)=-[x 2+(a-2)x+b-a]e3-x
由f′(3)=0,得-[32+(a-2)3+b-a]e3-x=0,即得b=-3-2a---(3分)
(2)f′(x)=-[x2+(a-2)x-3-2a-a e3-x=-[x2+(a-2)x-3-3a]e3-x
=-(x-3)(x+a+1)e3-x
令f′(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,
①由于x=3是极值点,所以3+a+1≠0,那么a≠-4----------(4分)
②当a<-4时,x2>3=x1,则f(x)增区间为(3,-a-1),减区间为 (-∞,3)(-a-1,+∞)--(5分)
③当a>-4时,x2<3=x1,f(x)增区间为(-a-1,3),减区间为(-∞,-a-1)(3,+∞)---(6分)
(3)函数f(x)在区间上存在零点即(x2+ax+b)e3-x=0在区间上有根
所以x2+ax-3-2a=0即在区间上有根----------(7分)
令,则
则u(x)在[-1,1]上递减,在递增,------------------(9分)
又所以u(x)的值域为
所以时,函数f(x)在区间上存在零点----------(10分)
(4)当a>0时,f(x)在区间(0,3)上的递增,在区间(3,4)上递减,
而f (0)=-(2a+3)e3<0,f (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6
那么f(x)在区间[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6]------(12分)
又.在区间[0,4]上是增函数
它在区间[0,4]上的值域是--------(13分)
由于,
所以只须且a>0,
解得-----------------------(15分)