Question

如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）记（Ⅰ）中所得的曲线为C．过原点O作两条直线l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x分别交曲线C于点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）．求证：；
（III）对于（Ⅱ）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R．求证：|OQ|=|OR|．（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）

Answer

（1）设点P的坐标为（x，y），进而表示出|PA|和|PO|，根据|PA|=2|PO|，求的点P的轨迹方程．
（2）将直线EF和GH的方程分别代入圆C方程，利用韦达定理分别求得交点横坐标之和与之积，进而代入，证明原式．
（3）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线求得q的表达式，根据F、R、G三点共线求得r的表达式，进而根据（2）中的
整理得，进而可知q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．
【解析】
（Ⅰ）设点P（x，y），依题意可得
整理得x2+y2-2y-3=0
故动点P的轨迹方程为x2+y2-2y-3=0．
（Ⅱ）将直线EF的方程y=k1x代入圆C方程
整理得（k12+1）x2-2k1x-3=0
根据根与系数的关系得，①
将直线GH的方程y=k2x代入圆C方程，
同理可得，②
由①、②可得，所以结论成立．
（Ⅲ）设点Q（q，0），点Q（r，0），由E、Q、H三点共线
得，解得
由F、R、G三点共线
同理可得
由变形得
即，
从而q+r=0，所以|q|=|r|，即|OQ|=|OR|．