Question

已知关于x的函数y=（m+6）x²+2（m-1）x+m+1恒有零点．
（1）求m的范围；
（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为-4，求m的值．

Answer

（1）当m+6=0时，即m=-6时，满足条件．当m+6≠0时，由≥0求得m≤-且m≠-6．综合可得m的范围．
（2）设x1，x2是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值．
【解析】
（1）当m+6=0时，m=-6，函数为y=-14x-5显然有零点．
当m+6≠0时，m≠-6，由△=4（m-1）2-4（m+6）（m+1）=-36m-20≥0，得m≤-．
∴当m≤-且m≠-6时，二次函数有零点．
综上可得，m≤-，即m的范围为（-∞，-]．
（2）设x1，x2是函数的两个零点，则有 x1+x2=-，x1x2=．
∵+=-4，即=-4，
∴-=-4，解得m=-3．
且当m=-3时，m+6≠0，△＞0，符合题意，
∴m的值为-3．