Question

某房地产公司要在荒地ABCDE（如图所示）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积（尺寸单位：m）．

Answer

设计长方形公寓分三种情况：当一端点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大；当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大；当一端点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE．由此能求出结果．
【解析】
如图所示，设计长方形公寓分三种情况：
①当一端点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，
∴S1=SBCDB1=5600m2．
②当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，
∴S2=SAA1DE=6 000m2．
③当一端点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE．
设MQ=x（0≤x≤20），∴MP=PQ-MQ=80-x．
又OA=20，OB=30，则=，
∴=，∴QB=x，
∴MN=QC=QB+BC=x+70，
∴S3=SMNDP=MN•MP=（70+x）•（80-x）
=-（x-）2+，
当x=时，S3=．比较S1，S2，S3，得S3最大，
此时MQ=m，BM=m，
故当长方形一端点落在AB边上离B点m处时公寓占地面积最大，最大面积为m2．