(1)将已知的关于和与项的关系变形,然后仿写一个新的等式,将两个式子相减得到项的关系,利用等差数列的定义得到证明.
(2)求出数列{bn}的通项,令通项小于等于0求出n的范围,即从第几项为负,得到Tn的最大值.
(3)由(2),通过对n的讨论,利用绝对值的意义,将绝对值符号去掉,将数列{|bn|}(n∈N)的前n项和问题转化为数列{bn}的前n项和,再利用等差数列的前n项和公式求出.
【解析】
(1)证明:∵
即4Sn=an2+2an+1
4Sn-1=an-12+2an-1+1
两个式子相减得
an-an-1=2
数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列
∴an=2n-1
(2)∴bn=10-an=-2n+11
令bn≤0
∴数列{bn}中前5项都是正项,从第六项开始为负项
∴Tn的最大值((Tn)max=T5=25
(3)当n≤5时,|b1|+|b2|+..+|bn|=b1+b2+..+bn=10n-n2
当n>5时,|b1|+|b2|+..+|bn|=b1+b2+…+b5-(b6+b7+…+bn)
=10×5-52-(10n-n2-10×5+52)=n2-10n+50
∴