Question

已知圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，是否存在斜率为1的直线L，使以直线L被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线方程； 若不存在，说明理由．

Answer

由已知中圆C：（x-1）2+（y+2）2=9，直线L的斜率为1，我们设出直线的斜截式方程，联立方程，根据韦达定理我们可以根据以AB为直径的圆过原点，构造关于b的方程，解方程即可求出答案．
【解析】
设直线L的方程为：y=x+b，且直线L被圆C截得的弦AB的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
联立：
得2x2+（2+2b）x+b2+4b-4=04分
由题意得：△=（2+2b）2-8（b2+4b-4）＞0
得：…6分
由韦达定理可得：8分
又以AB为直径的圆过原点．∴x1x2+y1y2=0
化得：2x1x2+b（x1+x2）+b2=0
化简b2+3b-4=0
∴b=-4或b=1合题意…12分
所求的直线方程为：x-y-4=0和x-y+1=0…14分