Question

已知：S_n=（a-1）+2（a²-1）+3（a³-1）+…+n（aⁿ-1）
（1）若a=-1，则S₁₀₀的值为多少？
（2）若a∈R，求S_n．

Answer

（1）把a=-1代入前n项和中，可以发现是以-2为首项，-4为公差的等差数列的前50项的和，然后利用公式即可求出结果．
（2）分三种情况分析，当a=0时，所求的式子为-1为首项，-1为公差的等差数列的前n项的和；当a=1时，Sn=0；当a≠0且a≠1时，利用分组和错位相减的方法求和，得出结果．
【解析】
（1）若a=-1，则S100=-2-6-…-198=-5000    4分
（2）i．a=0时，6分
ii，a=1时，Sn=0   8分
iii a≠0且a≠1时Sn=a+2a2+3a3+…+nan-（1+2+3+…+n）
记Tn=a+2a2+3a3+…+nan①aTn=a2+2a3+3a4+…+nan+1②
①-②得（1-a）Tn=a+a2+a3+…+an-nan+1
化简得：14分
所以：16分