Question

设过点A（p，0）（p＞0）的直线l交抛物线y²=2px（p＞0）于B、C两点，
（1）设直线l的倾斜角为α，写出直线l的参数方程；
（2）设P是BC的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并化为普通方程．

Answer

（1）先将l的参数方程写成为其中α≠0；
（2）将直线的参数方程代入抛物线方程中有：t2sin2α-2ptcosα-2p2=0，设B、C两点对应的参数为t1，t2，其中点P的坐标为（x，y），利用参数的几何意义得出：y2=px-p2即为P点轨迹的参数方程．
【解析】
（1）l的参数方程为其中α≠0
（2）将直线的参数方程代入抛物线方程中有：t2sin2α-2ptcosα-2p2=0
设B、C两点对应的参数为t1，t2，其中点P的坐标为（x，y），则点P所对应的参数为，
由，当α≠90°时，应有（α为参数）
消去参数得：y2=px-p2
当α=90°时，P与A重合，这时P点的坐标为（p，0），也是方程的解
综上，P点的轨迹方程为y2=px-p2