Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“有界泛函”，给出以下函数：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=2^x；；（4）f（x）=xsinx．其中是“有界泛函”的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义进行判定：对于（1）、（2）两个函数无最大值故不存在这样的M对一切实数x均成立；对于（3），需要通过讨论，将不等式变形为 ，可以求出符合条件的m的最小值为，如此可得到正确结论；对于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，当M≥1时，f（x）=xsinx是有界泛函．．
【解析】
对于（1），|f（x）|=|x2|≤M|x|，即|x|≤M，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
对于（2），|f（x）|=|2x|≤M|x|，不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
对于（3），要使|f（x）|≤m|x|成立，即
当x=0时，m可取任意正数；当x≠0时，只须m≥的最大值；因为x2+x+1=，所以m≥，因此，当m≥时，f（x）=是有界泛函；
对于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，当M≥1时，f（x）=xsinx是有界泛函．
故选C．