Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC的中点．
（1）求证：PD⊥平面AMN；
（2）求三棱锥P-AMN的体积；
（3）求二面角P-AN-M的大小．

Answer

（1）由题意可得：CD⊥PD，即可得到MN⊥PD，在△PAD中，PA=AD=2，M为PD的点，可得AM⊥PD，再利用线面垂直的判定定理可得线面垂直．
（2）由题意可得：CD⊥平面PAD，即可得到MN⊥平面PAD，所以∠AMN=90°，再结合题中的条件可得，又因为PM为三棱锥P-AMN的高，所以可得三棱锥的体积．
（3）作MH⊥AN于H，连接PH，可得∠PHM为二面角P-AN-M的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角即可．
【解析】
（1）∵ABCD是正方形，
∴CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴CD⊥PD
在△PCD中，M、N分别为PD、PC的中点，则MN∥CD，
∴MN⊥PD 
∵在△PAD中，PA=AD=2，M为PD的点，
∴AM⊥PD，
∵AM∩MN=M，AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN
∴PD⊥平面AMN
（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，
∴CD⊥平面PAD．
∵MN∥CD，
∴MN⊥平面PAD
又∵AM⊂平面PAD
∴MN⊥AM，即∠AMN=90°，
∵在Rt△PAD中，PA=AD=2，M为PD的中点，
∴AM=PM=．
又∵，
∴．
∵PM⊥平面AMN，
∴PM为三棱锥P-AMN的高，
∴．
（3）作MH⊥AN于H，连接PH，
∵PM⊥平面AMN，
∴PH⊥AN，
∴∠PHM为二面角P-AN-M的平面角
∵PM⊥平面AMN，
∴PM⊥MH．
在Rt△AMN中，，
∴在Rt△PMH中，，
∴∠PHM=60°则二面角P-AN-M的大小为60°．