Question

已知a＞0且a≠1，f（x）是奇函数，φ（x）=（a-1）f（x）（+）
（1）判断ϕ（x）的奇偶性，并给出证明；
（2）证明：若xf（x）＞0，则ϕ（x）＞0．

Answer

（1）先判断定义域是否关于原点对称，再看ϕ（x）与ϕ（-x）的关系即可得结论；
（2）先判断出x＞0时对应f（x）的正负，再对a分大于1和大于0小于1两种情况讨论，分别得出+的正负，综合即可证明x＞0时，ϕ（x）＞0；
再利用偶函数的性质ϕ（x）=ϕ（-x）即可证明x＜0时，ϕ（x）＞0．
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）
又ϕ（x）的定义域为{x∈R|x≠0}2分）
∴=
=
∴ϕ（x）是偶函数．（6分）
（2）若x＞0，则由已知，f（x）＞0，（7分）
①当，a-1＞0∴ϕ（x）＞0
②当0＜a＜1时，a-1＜0，∴ϕ（x）＞0，（10分）
又ϕ（x）是偶函数，
∴x＜0，ϕ（x）=ϕ（-x）＞0．（11分）
故当xf（x）＞0时，ϕ（x）＞0．（12分）