Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且
CC₁=2AB．
（1）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥B-B₁CD的侧面积．

Answer

（1）由已知中CC1⊥平面ABC，由面面垂直的判定定理，可得平面C1CD⊥平面ABC；
（2）连接BC1交B1C于点O，连接DO．由三角形的中位线定理可得DO∥AC1，再由线面平行的判定定理可得AC1∥平面CDB1；
（3）分别求出△CDB，△CB1B，△DB1B的面积，进而可求出三棱锥B-B1CD的侧面积．
解（1）证明：因为CC1⊥平面ABC．
又∵CC1⊂平面C1CD
所以平面C1CD⊥平面ABC（4分）
（2）证明：连接BC1交B1C于点O，连接DO．
则O是BC1的中点，
DO是△BAC1的中位线．所以DO∥AC1．…（6分）
因为DO⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1．…（9分）
（3）∵△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，
∴CD⊥AB
∴；
∴；
∴
所以三棱锥B-B1CD的侧面积为．…（14分）