Question

设O为△ABC内一点，若任意k∈R，有，则△ABC的形状一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定

Answer

由题意可得|-k |≥||，两边平方化简可得，关于k的不等式 a2•k2-2ac•cosB•k+c2-b2≥0恒成立，
由判别式△≤0 化简可得 sin2B≥，再由正弦定理求得 sin2C≥1，故有sinC=1，C=，由此得出结论．
【解析】
∵O为△ABC内一点，若任意k∈R，有，即|-k |≥||．
设△ABC的三边分别为a、b、c，把不等式|-k |≥||两边平方可得：
 +k2 -2k≥，即 a2•k2-2ac•cosB•k+c2-b2≥0．
由于k为任意实数，故关于k的不等式 a2•k2-2ac•cosB•k+c2-b2≥0恒成立．
故判别式△=4a2c2cos2B-4a2（c2-b2）≤0，化简可得 sin2B≥．
再由正弦定理可得 sin2B≥，∴sin2C≥1．
由于C为△ABC的内角，故0＜sinC≤1，故只有 sinC=1，∴C=．
故△ABC的形状一定是直角三角形，
故选 B．