Question

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，…，b_n．
（1）求证：数列b₁，b₂，…，b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和．

Answer

（1）要证数列b1，b2，…，bn成等比数列，只需证为常数即可，所以用数列{an}中的项表示{bn}中项，再求
．
（2）先由（1）和ak=2k-1（k=1，2，…，n），求数列{bn}的通项公式，再代入，再用裂项相消求和即可．
【解析】
（1）由题设易知，，．
设表中的第k（1≤k≤n-1）行的数为c1，c2，…，cn-k+1，显然c1，c2，…，cn-k+1成等差数列，则它的第k+1行的数是c1+c2，c2+c3，…，cn-k+cn-k+1也成等差数列，它们的平均数分别是，bk+1=c1+cn-k+1，于是．
故数列b1，b2，…，bn是公比为2的等比数列．
  （2）由（1）知，，
故当ak=2k-1时，bk=n•2k-1，ak•bk=n（2k-1）•2k-1（1≤k≤n，k∈N*）．
于是=．
设，
则S=1×2+3×21+5×22+…+（2n-1）•2n-1①2S=1×21+3×22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n②
①-②得，-S=1×2+2（21+22+…+2n-1）-（2n-1）•2n，
化简得，S=（2n-1）•2n-2n+1+3，
故=n（2n-1）•2n-n•2n+1+3n．