Question

以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请分别写出该商品的出厂价格函数、销售价格函数、盈利函数的解析式．

Answer

将出厂价格函数设为 f（x）=A1sin（ω1x+φ1）+k1，x∈[0，12]，销售价格函数设为g（x）=A2sin（ω2x+φ2）+k2，x∈[0，12]，根据已知将A1 A2 ω1 ω2  k1 k2分别求出，再根据盈利=m×（销售价格-出厂价格），求得盈利函数．
【解析】
设出厂价格函数为 f（x）=A1sin（ω1x+φ1）+k1，x∈[0，12]
销售价格函数为g（x）=A2sin（ω2x+φ2）+k2，x∈[0，12}
由题设，A1=，k1=6
ω1==    A2=  K2=8ω2==
将（3，8）代入f（x）可得 2sin（×3+φ1）+6=8 得φ1=-+2kπ，k∈Z
将（5，10）代入g（x）可得 2sin（×5+φ2）+8=10 得φ2=-+2kπ，k∈Z
故 出厂价格函数为 f（x）=2sin（x-）+6，x∈[0，12}
销售价格函数为g（x）=2sin（x-）+8，x∈[0，12}
又设盈利函数为H（x）则，H（x）=[g（x）-f（x）]×m=2m[sin（x-）-sin（x-）+1]x∈[0，12}
即盈利函数为H（x）=2m[sin（x-）-sin（x-）+1]x∈[0，12}
∴该商品的出厂价格函数为 f（x）=2sin（x-）+6，x∈[0，12}
销售价格函数为g（x）=2sin（x-）+8，x∈[0，12}
盈利函数为H（x）=2m[sin（x-）-sin（x-）+1]x∈[0，12}