Question

设m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ，
（1）当m=n=7时，若f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a求a+a₂+a₄+a₆．
（2）当m=n时，若f（x）展开式中x²的系数是20，求n的值．
（3）f（x）展开式中x的系数是19，当m，n变化时，求x²系数的最小值．

Answer

（1）本题可以应用赋值法分别令x=1，x=-1，写出两个等式，把两个等式相加得到要求的下标是偶数的系数的和．
（2）写出二项式的展开式，根据当m=n时，f（x）展开式．中x2的系数是20，得到T3=2Cn2x2=20x2，求出n的值．
（3）要求一个系数的最小值，首先表示出这个项的系数，根据m，n之间的关系，代入系数的表示式，根据二次函数的最值求法得到结果．
【解析】
（1）本题可以应用赋值法：分别令x=1，x=-1，
28=a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a
0=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a
两个式子相加得a+a2+a4+a6=128…（4分）
（2）∵当m=n时，f（x）展开式中x2的系数是20，
∴T3=2Cn2x2=20x2，
∴n=5…（8分）
（3）当m+n=19，
x2的系数为：
==
∴当n=10或n=9时，f（x）展开式中x2的系数最小为81．…（12分）