Question

已知函数f（x）=x³+2x-sinx（x∈R）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）是R上单调递增函数；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x²-a）+f（x-ax）＜0．

Answer

（I）根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，根据二次函数和余弦函数的性质，分析导函数的符号，即可判断出函数的单调性；
（II）根据函数奇偶性的定义及函数解析式，可判断出函数为奇函数，结合（I）中函数的单调性和定义域，可将不等式f（x2-a）+f（x-ax）＜0化为（x+1）（x-a）＜0，分别讨论对应方程两根a与-1的大小，即可得到不同情况下原不等式的解集．
证明：（I）∵f（x）=x3+2x-sinx
∴f′（x）=3x2+2-cosx=3x2+（2-cosx）
∵3x2≥0，2-cosx＞0恒成立，
故f′（x）＞0，
故函数f（x）是R上单调递增函数；
（Ⅱ）∵f（-x）=（-x）3+2（-x）-sin（-x）=-（x3+2x-sinx）=-f（x）
函数f（x）是奇函数
原不等式可化为f（x2-a）＜-f（x-ax）=f（ax-x）
由（1）可得x2-a＜ax-x，即x2+（1-a）x-a＜0，
即（x+1）（x-a）＜0，
当a＜-1时，原不等式的解析为（a，-1）
当a=-1时，原不等式的解析为∅
当a＞-1时，原不等式的解析为（-1，a）