Question

已知数列{a_n}，a₁=3，a_n+1=4a_n-3
（Ⅰ）设b_n=1og₂（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：．

Answer

（Ⅰ）利用数列递推式，可得{an-1}是以2为首项，4为公比的等比数列，进而利用bn=1og2（an-1），可得数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此可求数列{bn}的前n项和Sn
（Ⅱ）先放缩，再利用裂项法，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
∵an+1=4an-3，∴an+1-1=4（an-1）
∵a1=3，∴a1-1=2，
∴{an-1}是以2为首项，4为公比的等比数列
∴an-1=2×4n-1=22n-1，
∵bn=1og2（an-1），∴bn=2n-1，
∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴Sn==n2；
（Ⅱ）证明：=＞
==1-=
∴．