Question

已知椭圆C的离心率e=，长轴的左右两个端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）；
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M在该椭圆上，且•=0，求点M到y轴的距离；
（3）过点（1，0）且斜率为1的直线与椭圆交于P，Q两点，求△OPQ的面积．

Answer

（1）根据长轴端点判断椭圆位置和a，再由离心率和a2=b2+c2，求得b2，即可求出椭圆方程．
（2）先求出 •的解析式，把点M（x1，y2）代入椭圆，根据 •=0，即可求得结果．
（3）椭圆与直线方程联立，得交点 坐标，进而结合三角形面积公式计算可得答案．
【解析】
（1）根据题意可知e=，a=2
∵a2=b2+c2=4
∴b2=1
所以椭圆的方程为
（2）设点M（x1，y1）在双曲线上
则y2=1-
由椭圆
知F1（，0），F2（-，0）
∴=x12-3+y12=0
∴x12=
∴点M到y轴的距离为．
（3）由题意知 ，
解方程组得交点p（0，-1），P（，），
∴S△OPQ=（1×1+1×）=．