Question

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．
（1）证明：对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]（x₁+x₂）≤0
（2）解不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0．

Answer

（1）分类讨论，分x1+x2=0、若x1+x2＜0、x1+x2＞0 三种情况，证明（x1+x2）与[f（x1）+f（x2）]符号相反．
（2）利用函数的定义域和单调性列出不等式组，求出解集．
【解析】
（1）若x1+x2=0，显然不等式成立；
若x1+x2＜0，则-1＜x1＜-x2＜1，∵函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数，
∴f（x1）＞f（-x2）=-f（x2），f（x1）+f（x2）＞0，故原不等式成立；
同理可证当x1+x2＞0  时，原不等式也成立．
（2）由f（1-a）+f（1-a2）＜0 和已知可得以下不等式组
解得 0≤a＜1．