Question

求下列函数的值域：．

Answer

把函数f（x）的解析式第一项利用同角三角函数间的基本关系sin2x+cos2x=1变形为关于sinx的二次函数，由x的范围，根据正弦函数的图象与性质求出正弦函数sinx的值域，即为二次函数的定义域，最后利用二次函数的图象与性质得到函数的最大值与最小值，进而得到函数的值域．
【解析】
f（x）=2cos2x+3sinx+3
=2（1-sin2x）+3sinx+3
=-2sin2x+3sinx+5
=-2（sinx-）2+，
∵x∈[，]，∴，
∴当sinx=时，f（x）最大，最大值为f（）=，
当sinx=或1时，f（x）最小，最小值为f（1）=6，
则函数f（x）的值域是．