(Ⅰ)欲证AC⊥SB,取AC中点D,连接DS、DB.根据线面垂直的性质定理可知,只须证AC⊥SD且AC⊥DB,即得;
(Ⅱ)欲求二面角N-CM-B的大小,可先作出二面角的平面角,结合SD⊥平面ABC.过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
从而得出∠SED为二面角S-CM-A的平面角.最后在Rt△SDE中求解即可;
(Ⅲ)设点B到平面SCM的距离为h,利用等到体积法:VB-SCM=VS-CMB,即可求得点B到平面SCM的距离.
证明:(Ⅰ)取AC中点D,连接DS、DB.
∵SA=SC,BA=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥DB,
∴AC⊥平面SDB,又SB⊂平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)【解析】
∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,
∴SD⊥平面ABC.
过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角.
由已知有,所以DE=1,又SA=SC=2,AC=4,∴SD=2.
在Rt△SDE中,tan∠SED==2,
∴二面角S-CM-A的大小为arctan2.
(Ⅲ)【解析】
在Rt△SDE中,SE=,CM是边长为4正△ABC的中线,.
∴S△SCM=CM•SE=,
设点B到平面SCM的距离为h,
由VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面ABC,得S△SCM•h=S△CMB•SD,
∴h=.即点B到平面SCM的距离为.