Question

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N^*）
（1）求证：y=f（x）是R上的减函数．
（2）求证：{a_n}是等差数列，并求通项a_n．
（3）若不等式对一切n∈N^*均成立，求k的最大值．

Answer

（1）令x=-1，y=0，代入题设等式中求得f（0）=1，进而求得a1，先当x＞0时根据f（0）=f（-x）•f（x）推断出0＜f（x）＜1，设x1，x2∈R且x1＜x2，进而可知0＜f（x2-x1）＜1，利用f（x+y）=f（x）f（y）求得f（x2）-f（x1）＜0，根据函数单调性的定义推断出函数为减函数．
（2）根据由和f（x+y）=f（x）f（y）整理求得an+1-an=2，进而可判断出{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．进而根据等差数列通项公式求得an．
（3）把题设中的不等式整理成，设出，进而表示出F（n+1），进而求得进而推断出F（n）为关于n的单调增函数，进而根据求得k的最大值．
【解析】
（1）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a1=f（0）=1．
当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．
设x1，x2∈R且x1＜x2，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，f（x2）-f（x1）=f（x1+（x2-x1））-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0．
即f（x2）＜f（x1），所以y=f（x）是R上的减函数．

（2）由得f（an+1）f（-2-an）=1，
所以f（an+1-an-2）=f（0）．
因为y=f（x）是R上的减函数，所以an+1-an-2=0，
即an+1-an=2，
所以{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以an=1+（n-1）×2=2n-1．

（3）由对一切n∈N*均成立．
知对一切n∈N*均成立．
设，
知F（n）＞0且，
又．
故F（n）为关于n的单调增函数，．
所以，k的最大值为