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高中数学试题
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已知向量=,=(cosx,1),设函数f(x)=•,x∈R. (Ⅰ)求函数f(x...
已知向量
=
,
=(cosx,1),设函数f(x)=
•
,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(Ⅱ)若方程f(x)-k=0在区间
上有实数根,求k的取值范围.
(Ⅰ)利用两个向量的数量积公式化简函数f(x)的解析式为-2sin(2x-)+1,由此求得函数的最小正周期,令 2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,即可求得 函数的单调递减区间. (Ⅱ)由题意可得函数y=f(x)的图象和直线y=k 在区间上有交点,由 0≤x≤ 可得函数f(x)的值域,即为 k的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)∵函数f(x)=•=2cos2x-sin2x=cos2x-sin2x+1=2sin(-2x)+1=-2sin(2x-)+1, ∴函数的最小正周期为 =π,令 2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈z, 故函数的减区间为[kπ-,kπ+],k∈z. (Ⅱ)若方程f(x)-k=0在区间上有实数根,则函数y=f(x)的图象和直线y=k 在区间上有交点. 由 0≤x≤ 可得-≤2x-≤,∴-≤sin(2x-)≤1,∴-1≤-2sin(2x-)+1≤2, 即函数f(x)的值域为[-1,2], 故-1≤k≤2,即k的取值范围为[-1,2].
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考点分析:
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=
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