Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=，bsinA=4．
（Ⅰ）求cosB和边长a；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求cos4C的值．

Answer

（Ⅰ）首先由正弦定理求出asinB的值，然后利用弦切互化关系结合已知条件即可求出cosB，再由cosB求得sinB、tanB，则求得a；
（Ⅱ）先由三角形面积公式求出c，则可得A=C，再利用余弦定理把cos4C用A+C的三角函数表示，进而用B的三角函数表示，则问题解决．
【解析】
（Ⅰ）因为，所以asinB=bsinA=4，
又atanB=，即，
所以cosB=；
则sinB=，tanB=，
所以a==5．
（Ⅱ）由S=acsinB=×4c=10，得c=5．
又a=5，所以A=C．
所以cos4C=2cos22C-1
=2cos2（A+C）-1
=2cos2B-1
=2×-1
=-．