Question

已知点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．

Answer

（1）由题意，应该先设出点M的坐标及圆的半径，利用题中的条件建立方程求解即可；
（2）由题意利用所给的条件信息及（1）中的圆的半径与a，b的关系和离心率进而求解出椭圆的方程．
【解析】
（1）设M（x，y），圆M的半径为r．
因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，
所以MF⊥x轴，所以x=c，r=|y|①
因为点M在椭圆上，所以
将上式代入上式得，
因为a2-c2=b2所以即：②
又因为圆M与y轴相切，所以M到y轴的距离等于半径r，即：r=|x|③
由①，②，③得即：b2=ac从而得c2+ac-a2=0
两边同除以a2，得：（，，e2+e-1=0
解得：因为e∈（0，1）
            故：．
（2）因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，
M到圆y轴的距离又由（1）知：，d=c
所以，，又因为a2-b2=c2
从而有a2-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）b2=2a=6
所求椭圆方程是：