Question

F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，直线l与C相交于A，B两点
（1）直线l斜率为1且过点F₁，若|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，，求a值
（2）若直线l方程为y=2x+2，且OA⊥OB，求a值．

Answer

（1）设椭圆半焦距为c，则l方程为y=x+c；设A（x1，y1），B（x2，y2），由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，知，所以（1+a2）x2+2a2cx+a2（a2-2）=0，再由韦达定理能够得到a值．
（2）联立直线l与椭圆方程：，（1+4a2）x2+8a2x+3a2=0，再由韦达定理能够得到a值．
【解析】
（1）设椭圆半焦距为c，则l方程为y=x+c；
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，
∴⇒（1+a2）x2+2a2cx+a2（a2-2）=0，
，
由得
解得…（6分）
（2）联立直线l与椭圆方程：⇒（1+4a2）x2+8a2x+3a2=0，
，，
∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0⇒5x1x2+4（x1+x2）+4=0
代入得，
∴…（12分）