Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）证明：
（参考数据：ln2≈0.6931）

Answer

（1）先求出函数的导函数，然后根据在某点取极值的意义可知f'（1）=0，解之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，则x2-3x+lnx+b=0，设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，则g（x）最小值=g（1）=b-2＜0，g（）＞0，g（2）＞0，解之即可；
（3）设Φ（x）=lnx-（x2-1），研究函数Φ（x）在[2，+∞）上的单调性，可得Φ（x）≤Φ（2）=ln2-＜0⇒lnx＜（x2-1），从而当x≥2时，，从而得到结论．
【解析】
（1）f'（x）=1-，由题意，得f'（1）=0⇒a=0…（2分）
（2）由（1）知f（x）=x-lnx
∴f（x）+2x=x2+b     x-lnx+2x=x2+b     x2-3x+lnx+b=0
设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0）
则g'（x）=2x-3+=    …（4分）
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x （0，） （，1） 1 （1，2） 2
g'（x） + - +
G（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ b-2+ln2

当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b-2，g（）=b--ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根
由⇒
⇒+ln2≤b≤2                      （8分）
（3）∵k-f（k）=lnk
∴
⌠（n∈N，n≥2）
设Φ（x）=lnx-（x2-1）
则Φ'（x）=-=
当x≥2时，Φ'（x）＜0⇒函数Φ（x）在[2，+∞）上是减函数，
∴Φ（x）≤Φ（2）=ln2-＜0⇒lnx＜（x2-1）
∴当x≥2时，
∴＞2[（1-）+（-）+（-）+（-）+…（）]
=2（1+-）
=．
∴原不等式成立．（12分）