Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的n∈N₊，都有8S_n=（a_n+2）²．
（1）写出数列{a_n}的前3项；
（2）求数列{a_n}的通项公式（写出推证过程）；
（3）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得对所有n∈N₊都成立的最小正整数m的值．

Answer

（1）在8Sn=（an+2）2中，令n=1求a1，令n=2，求a2，l令n=3，可求a3．
（2））根据Sn与an的固有关系an=，得an2-an-12-4an-4an-1=0，化简整理可证．
（3）把（2）题中an的递推关系式代入bn，根据裂项相消法求得Tn，最后解得使得 对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
【解析】
（1）n=1时 8a1=（a1+2）2∴a1=2
n=2时 8（a1+a2）=（a2+2）2∴a2=6
n=3时 8（a1+a2+a3）=（a3+2）2∴a3=10
（2）∵8Sn=（an+2）2∴8Sn-1=（an-1+2）2（n＞1）
两式相减得：8an=（an+2）2-（an-1+2）2即an2-an-12-4an-4an-1=0
也即（an+an-1）（an-an-1-4）=0
∵an＞0∴an-an-1=4即{an}是首项为2，公差为4的等差数列
∴an=2+（n-1）•4=4n-2
（3）
∴=…
∵对所有n∈N+都成立∴即m≥10
故m的最小值是10．