Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x），其中，β≠，α+β≠，k∈Z．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）定义数列a_n，，a_n+1²=2a_nf（a_n），（n∈N^*）
①证明数列是等比数列；
②设，S_n为数列b_n的前n项和，求使成立的最小n的值．

Answer

（1）分别把题设等式中两边变形后利用两角和公式展开整理求得tan（α+β）=2tanα，然后利用正切的两角和公式展开后，用x和y表示，整理出y关于x的函数解析式．
（2）①利用（1）中函数的解析式整理求得理，利用等比数列的定义判定出数列为等比数列．
②利用（2）可求得数列的通项公式，进而求得bn，利用等比数列的求和公式求得Sn的表达式，利用题设不等式求得n的范围，则n的最小值可得．
【解析】
（1）sin（2α+β）=3sinβ变形得sin[α+（α+β）]=3sin[（α+β）-α]
化简得tan（α+β）=2tanα
所以，所以，
从而；
（2）①由，变形得，
整理得
所以数列是首项为2，公比为的等比数列．
②，所以，
令＞，则2n＞64=26，所以n＞6，
所以n的最小值为7．