Question

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意，设出直线AB的方程，将直线方程代入椭圆，用设而不求韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知AB中点的横坐标即可求出直线AB的方程．
（2）假设存在点M，使为常数．分别分当直线AB与x轴不垂直时以及当直线AB与x轴垂直时求出点M的坐标．最后综合两种情况得出结论．
【解析】
（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将y=k（x+1）代入x2+3y2=5，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
由线段AB中点的横坐标是，得，
解得，适合（1）．
所以直线AB的方程为，或．

（Ⅱ）【解析】
假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．
①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知
所以
=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2
将（3）代入，整理得
=
注意到是与k无关的常数，从而有，此时
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为，
当时，亦有
综上，在x轴上存在定点，使为常数．