Question

设等差数列{a_n}的各项均为整数，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比数列，求n_t．

Answer

（Ⅰ）利用等差数列通项公式，结合a2•a10＞0，求d的范围，然后求出d的值；
（Ⅱ）利用a3=2，求出d的值，写出结合（5＜n1＜n2＜…＜nt＜…）成等比数列，求出公比，然后求nt．
【解析】
（Ⅰ）因为等差数列{an}的各项均为整数，所以d∈Z（1分）
由a2•a10＞0，得（a5-3d）（a5+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，
解得．注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1（3分）
（Ⅱ）【解析】
由a3=2，a5=6，得，
从而an=a3+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故（5分）
由，成等比数列，得此等比数列的公比为，
从而为其第t+1项，所以（7分）
由2nt-4=2•3t+1，解得nt=3t+1+2，t=1，2，3，（9分）