Question

已知函数f（x）=ax²-2x，g（x）=-，（a，b∈R）
（Ⅰ）当b=0时，若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对（a，b）：当a是整数时，存在x，使得f（x）是f（x）的最大值，g（x）是g（x）的最小值．

Answer

（Ⅰ）当b=0时，f（x）=ax2-4x，讨论a的取值，结合二次函数的单调性建立a的不等关系即可；
（Ⅱ）讨论a为0时不可能，要使f（x）有最大值，必须满足，求出此时的x=x，根据g（x）取最小值时，x=x=a，建立等量关系，结合a是整数，求出a和b的值．
【解析】
（Ⅰ）当b=0时，f（x）=ax2-4x，
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在[2，+∞）上单调递减，不符题意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足，
∴a≥1．
（Ⅱ）若a=0，，则f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足，即a＜0且，
此时，时，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值时，x=x=a，
依题意，有，
则，
∵a＜0且，
∴，得a=-1，此时b=-1或b=3．
∴满足条件的实数对（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．