Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁的中点，AC交BD于点O，求证：A₁O⊥平面MBD．

Answer

利用线面垂直的判定定理证明DB⊥平面A1ACC1 ，证得A1O⊥DB．再用勾股定理证明A1O⊥OM，
这样，A1O就垂直于平面MBD内的两条相交直线，故A1O⊥平面MBD．
证明：连接MO．
∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，
∴DB⊥平面A1ACC1．
又A1O⊂平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．
在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=，
tan∠MOC=，∴∠AA1O=∠MOC，
则∠A1OA+∠MOC=90°．∴A1O⊥OM．
∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD．