Question

如图所示，一个计算装置示意图．J₁、J₂是数据入口，C 是计算结果的出口．计算过程是：由J₁、J₂ 分别输入自然数m和n，经过计算所得结果由出口C输出k，即：f（m，n）=k．此种计算装置满足以下三个性质：①f（1，1）=1；②f（m，n+1）=f（m，n）+2；③f（m+1，1）=2f（m，1）．
试问：①若 J₁输入5，J₂输入7，则输出结果为多少？
②若 J₁输入m，J₂输入自然数n，则C输出结果为多少？
③若C输出结果为100，求：共有哪几种输入方案？

Answer

①若 J1输入5，J2输入7，则输出结果为f（5，7）的值．
②若 J1输入m，J2输入自然数n，则C输出结果为多少？就是求f（m，n）的值．f（m，1）看作是数列的首项，f（m，n+1）=f（m，n）+2，这里n+1，n相当于数列的项数，2相当于数列的公差．因此可看作是等差数列．同理，把f（1，1）=1看作是数列首项，f（m+1，1）=2f（m，1），这里m+1，m相当于等比数列的项数，2是公比由等差数列，等比数列通项公式即可求得．
③若C输出结果为100，求：共有哪几种输入方案？由上一问知道f（m，n）=f（m，1）+2（n-1）=2m-1+2n-2=100求m，n，就是求方程的不定整数解，要逐一讨论，求得．
【解析】
①f（5，7）=f（5，1）+2×（7-1）=f（1，1）×25-1+12=1×24+12=28；   
②f（1，n+1）=f（1，n）+2⇒等差数列；
f（1，n）=f（1，1）+2（n-1）=2n-1； f（m+1，1）=2f（m，1）⇒等比数列；
f（m，1）=f（1，1）×2m-1=2m-1；f（m，n+1）=f（m，n）+2；
则f（m，n）=f（m，1）+2（n-1）=2m-1+2n-2
③由2m-1+2n-2=100，得2m+4n=204，则：因为m，n是自然数，所以（m，n）=（2，50）、（3，49）、（4，47）、（5，43）、（6，35）、（7，19）共6种输入方案