Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nloga_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，对任意正整数n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立，试求m的取值范围．

Answer

（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，根据2（a3+2）=a2+a4，可求得a3．进而求得a2+a4=20．两式联立方程即可求得a1和q的值，最后根据等比数列的通项公式求得an．
（2）把（1）中的an代入bn，再利用错位相减法求得Sn，再由Sn+（n+m）an+1＜0恒成立进而求得m的范围．
【解析】
（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．
依题意，
有2（a3+2）=a2+a4，
代入a2+a3+a4=28，
得a3=8．
∴a2+a4=20．
∴
解之得，或
又{an}单调递增，
∴q=2，a1=2，∴an=2n，
（2）bn=2n•log2n=-n•2n，
∴-Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①
-2Sn=1×22+2×23++（n-1）2n+n•2n+1②
①-②得，Sn=2+22+23++2n-n•2n+1
=-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1
由Sn+（n+m）an+1＜0，
即2n+1-2-n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，
∴m•2n+1＜2-2n+1．
对任意正整数n，
m＜-1恒成立．
∵-1＞-1，∴m≤-1．
即m的取值范围是（-∞，-1]．