Question

设函数f（x）=x²+x-．
（1）若函数的定义域为[0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定义域为[a，a+1]时，f（x）的值域是[-，]，求a的值．

Answer

本题考查二次函数的值域问题，第（1）小问考查的是定轴定区间的值域问题，比较容易，第（2）小问是值域逆向问题，由于区间含有参数a，所以需要对函数的对称轴与区间的位置关系进行讨论，有时还需要考虑区间的中点与对称轴的位置关系．
【解析】
（1）∵f（x）=-，
∴对称轴为x=-．∵-＜0≤x≤3，
∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即．
（2）∵f（x）的最小值为-，
∴对称轴x=-∈[a，a+1]．
∴
解得-≤a≤-．
∵区间[a，a+1]的中点为x=a+，
当a+≥-，即-1≤a≤-时，
f（x）最大值为f（a+1）=．
∴（a+1）2+（a+1）-=．
∴16a2+48a+27=0．
∴a=-．
当a+＜-，即-≤a＜-1时，
f（x）最大值为f（a）=，
∴a2+a-=．
∴16a2+16a-5=0．
∴a=-．
综上知a=-或a=-．