Question

数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），其中a₄=365，
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；  
（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得为等差数列，求λ值；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项之和．

Answer

（Ⅰ）因为数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），且a4=365，所以利用递推式，
由a4求a3，由a3求a2，由a2求a1，
（Ⅱ）由为等差数列，以及等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，所以可设
解出an，再根据（Ⅰ）中所求a1，a2，a3的值解出x，y，λ即可．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中所求出的an，利用错位相减法求数列{an}的前n项之和．
【解析】
（Ⅰ）由an=3an-1+3n-1，及a4=365知a4=3a3+34-1=365，则a3=95
同理求得a2=23，a1=5
（Ⅱ）∵
∴an=（xn+y）•3n-λ，又由a1=5，a2=23，a3=95

∴
．
（Ⅲ）∵

由上两式相减

=-n•3n+1

．