Question

已知函数f（x）=ax²+2bx+c（a≠0），且f（1）=b．
（1）求证：存在x₁，x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）=0；
（2）对（1）中的x₁，x₂，若（a-b）（a-c）＞0．
（I）求的取值范围；
（II）求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer

（1）欲证结论成立，即证原函数有两个零点，可根据一元二次方程的根的判别式大于0得到；
（2）条件中f（1）=b可得b=-a-c，代入（a-b）（a-c）＞0，转化成关于的不等式解之即可；
欲求|x1-x2|的取值范围，利用根与系数的关系，可将其转化为的函数，之后求此函数的值域．
【解析】
由于f（1）=a+2b+c=b，所以a+b+c=0，b=-a-c．
（1）因为△=（2b）2-4ac=4（b2-ac）=4[（-a-c）2-ac]
=
所以二次函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
故存在x1，x2∈R，使得f（x1）=f（x2）=0．
（2）（I）由于（a-b）（a-c）＞0，且b=-a-c，
得（2a+c）（a-c）＞0，两边同除以a2，
有，所以．
（II）由（I）知，，
由于
=
因为，则，
所以2≤|x1-x2|＜2
即．