Question

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜．

Answer

（1）根据题意，对进行变形可得，从而证得结论；
（2）根据（1）求出数列an，从而求得bn，利用分组求和法即可求得结果；
（3）首先确定出数列{cn}的通项公式，利用放缩的思想将数列的每一项进行放缩，转化为特殊数列的求和问题达到证明不等式的目的．
【解析】
（1）∵，
∴，
又∵，
∴数列是首项为3，公比为-2的等比数列．
（2）依（1）的结论有，
即．
bn=（3•2n-1+1）2=9•4n-1+6•2n-1+1．
．
（3）∵，
∴．
当n≥3时，
则＜
=．
∵T1＜T2＜T3，
∴对任意的n∈N*，．