Question

某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x²．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（Ⅰ）写出y与x的函数关系式；
（Ⅱ）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．

Answer

（I）由题易知每件产品的销售价为20（1+x），则月平均销售量为a（1-x2）件，利润则是二者的积去掉成本即可．
（II）由（1）可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值．
【解析】
（I）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为a（1-x2）件，
则月平均利润y=a（1-x2）•[20（1+x）-15]，
∴y与x的函数关系式为y=5a（1+4x-x2-4x3）．
故函数关系式为：y=5a（1+4x-x2-4x3）（0＜x＜1）
（II）由y'=5a（4-2x-12x2）=0得或（舍）
当时 y'＞0；时 y'＜0，
∴函数y=5a（1+4x-x2-4x3）（0＜x＜1）在取得最大值
故改进工艺后，产品的销售价为=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大