Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点横坐标为1．
（1）求直线l的方程及m的值；
（2）若h（x）=f（x）-g'（x）（其中g'（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调区是及最值．

Answer

（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后利用直线方程与曲线方程组成的方程有唯一解求得m．从而问题解决．
（2）令h'（x）=0求出x的值为x=1，分两种情况讨论h'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最小值．
【解析】
（1）由题意可知直线l与函数f（x）=lnx相切于（1，0）．∵
∴切线斜率k=f'（1）=1∴切线l的方程为y=x-1
又∵．
即方程有一个解．∴∴m=-2
（2）由（1）可知∴g'（x）=x-2，∴
由h'（x）=0，得x=1，h'（x）及h（x）的变化如下表

故h（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞），h（x）max=h（1）=1，无最小值．