Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer

（1）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，连接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC．∵BD∩OC=O，满足定理条件；
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，根据二面角平面角的定义知∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可．
【解析】
（1）证明：连接OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD为等边三角形，
O为BD的中点，AB=2，，
∴．
在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，
∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影为OE．
∴AE⊥BC．∴∠AEO为二面角A-BC-D的平面角．
在Rt△AEO中，，，
，
∴．∴二面角A-BC-D的余弦值为．