(I)根据奇函数的定义g(x)=-g(-x)列出关于b的等式,由函数的奇偶性定义求出b的值;
(II)分当a>1和当0<a<1两种情况讨论,利用分离参数法,结合导数在最大值、最小值问题中的应用来解m的取值范围.
(Ⅲ)先得出:,再分情况讨论:当n=2时,,2n-2=2,∴af(2)+f(3)++f(n)>2n-2;当n=3时,,2n-2=6,∴af(2)+f(3)++f(n)=2n-2;当n≥4时,2n-2进行证明即可.
【解析】
(Ⅰ)由,
∴恒成立,b2=1,b=±1经检验b=1
(Ⅱ)由x∈[2,4]时,恒成立,
①当a>1时
∴对x∈[2,4]恒成立
∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立
设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4]
则g(x)=-x3+7x2+x-7
∴当x∈[2,4]时,g'(x)>0
∴y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)min=g(2)=15
∴0<m<15
②当0<a<1时
由x∈[2,4]时,恒成立,
∴对x∈[2,4]恒成立
∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立
设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4]
由①可知y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)max=g(4)=45
∴m>45
综上,当a>1时,0<m<15;
当0<a<1时,m>45
(Ⅲ)∵=
∴
当n=2时,,2n-2=2,∴af(2)+f(3)++f(n)>2n-2
当n=3时,,2n-2=6,∴af(2)+f(3)++f(n)=2n-2
当n≥4时,2n-2
下面证明:当n≥4时,2n-2
当n≥4时,2n-2=Cn+Cn1+Cn2++Cnn-1+Cnn-2=Cn1+Cn2++Cnn-1
∴当n≥4时,2n-2
n≥4时,,即2n-2
∴当n≥4时,2n-2.