Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，若x=-2时，f（x）有极值，且曲线y=f（x）在点x=1处的切线斜率为3，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断当x=-2时，f（x）是取到极大值还是极小值，说明理由．

Answer

（1）先求出函数的导函数f'（x），然后根据极值的定义和导数的几何意义建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，再利用列表法讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax+b．
由题意，得
所以，f（x）=x3+2x2-4x+5．
（2）由（1）知f'（x）=x2+4x-4=（x+2）（3x-2）．，
列表如下：

∴由上表可知，当x=-2时，f（x）取到极大值