Question

已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x₁，0）、G（x₂，0），求线段EG的长度．

Answer

（1）根据抛物线的定义可知曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线，进而求得p，则抛物线方程可得．
（2）表示出圆的半径，则圆的方程可得，令y=0，根据韦达定理求得x1+x2和x1•x2的表达式，进而求得（x1-x2）2，把点M代入抛物线方程求得a和b的关系，进而求得|x1-x2|的值．
【解析】
（1）依题意知，曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线
∵焦点到准线的距离p=2
∴曲线C方程是x2=4y
（2）∵圆M的半径为
∴其方程为（x-a）2+（y-b）2=a2+（b-2）2
令y=0得：x2-2ax+4b-4=0
则x1+x2=2a，x1•x2=4b-4
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1•x2=（2a）2-4（4b-4）=4a2-16b+16
又∵点M（a，b）在抛物线x2=4y上，∴a2=4b，
∴（x1-x2）2=16，即|x1-x2|=4
∴线段EG的长度是4．