Question

某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量x（件）之间近似满足关系：（其中c为小于96的正整常数）
（注：次品率P=，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品．）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的赢利T（元）表示为日产量x（件的函数）；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

Answer

（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1-P）×盈利（A）-日产量（x）×次品率（P）×亏损（），整理即可；
（2）由（1）知，只要考查当1≤x≤c时的情况即可；若令，则由，可得x=84；从而得当x＜84时，f'（x）＞0，当84＜x＜96时，f'（x）＜0，即当c≤84，日产量为c时，利润最大；当84＜c≤96，日产量为84时，利润最大．
【解析】
（1）根据题意，每天的赢利为T=x（1-P）A-xP•=-xP+xA=；
（2）由（1）知，只要考查1≤x≤c时的情况即可；
令，则，得x=84
且当x＜84时，f'（x）＞0，当84＜x＜96时，f'（x）＜0，
所以当c≤84时，日产量为c时，利润最大；当84＜c≤96时，日产量为84时，利润最大．