Question

已知数列{a_n}满足．
（1）求数列（a_n）的通项公式；
（2）令，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：当n≥2时；
（4）证明：（5）．

Answer

（1）将已知关系式两边同除以n（n+1）变形、整理、转化成等差或等比数列问题解决．
（2）由（1）能知，但数列{bn}的前n项和Sn无法进一步化简，因此考虑利用bn，Sn的关系进行相互转化求证．
（3）是与自然数有关的不等式命题，用数学归纳法证明．
【解析】
（1）由已知得nan+1=3（n+1）an+4n+6，两边同除以n（n+1）得：，所以，
所以是首项为1，公比为q=3的等比数列．
所以．∴an=n•3n-1-2
（2）由（1）知．
当n≥2时，．
两边平方得，，，
┅┅
相加得
又∴．
（3）（数学归纳法）
当n=1，2时，显然成立；
当n≥2时，证明不等式．
假设当n=k（k≥2）时命题也成立，即
则当n=k+1时所以当n=k+1时命题也成立，
故原不等式成立．