Question

已知对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2ⁿ），其中n∈N^*；
（3）求证：f（2，2ⁿ）＞f（1，n）对∀n∈N^*恒成立．

Answer

（1）对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，由（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）可得：f（x，x+y）=•f（x，y），由此式可求得f（1，4），f（2，8）的值；
（2）由（1）可求得f（1，n）=n，f（2，2n）=2n；
（3）用数学归纳法可证：当n=1时易证，设n=k时有2k＞k，当n=k+1时，易证2k+1=2×2k＞2k=k+k＞k+1成立．
【解析】
由条件有：，
（1）∴；
∴．
（2）由（1）知：
     ，
     ；
（3）由（2）知：即求证：2n＞n对∀n∈N*恒成立
证明如下：
（1）当n=1时，21＞1显然成立
（2）当n＞1时，设n=k时成立，即：2k＞k，
那么当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k=k+k＞k+1成立．
由（1）和（2）命题对∀n∈N*恒成立．